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PHP 算法学习之动态规划(二)

 

之前简单介绍了动态规划的概念和解题步骤,但是学习中感觉动态规划的应用范围太灵活了,这里就挑一些常见的题目多练习一下。

1、最长公共子序列(字符串相关)

给出两个字符串,找到最长公共子序列(LCS),返回LCS的长度。例如:

例如:给出"ABCD"和"EDCA",这个LCS是 "A"(或 D或C),返回1;

给出"ABCD" 和 "EACB",这个LCS是"AC"返回2。

思路:长度为m的字符串a和长度为n的字符串b,他们的最长公共子序列longest[m][n]可通过m-1长度的a和n-1长度的b推得:当a[m]等于b[n]的时候,longest[m][n] = longest[m-1][n-1] + 1;当a[m]不等于b[n]时,longest[m][n]=max(longest[m-1][n], longest[m][n-1])。当字符串a或者b为空字符串时,它与另一个字符串的最长公共子序列必然是0。最后题目的解即为longest[strlen(a)][strlen(b)]。

代码:

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2、编辑距离(字符串相关)

给出两个单词word1和word2,计算出将word1 转换为word2的最少操作次数。

你总共三种操作方法:插入一个字符、删除一个字符、替换一个字符。

例如:给出 work1="mart" 和 work2="karma",返回 3。

思路:对于长度为m的字符串a和长度为n的字符串b(m、n都大于0),如果a[m]不等于b[n],那么a变为b的最小操作次数=min(a[m-1]变为b[n]的最小操作次数+1,a[m]变为b[n-1]的最小操作次数+1,a[m-1]变为b[n-1]的最小操作次数);如果a[m]等于b[n],那么a[m]变为b[n]的最小操作次数=a[m-1]变为b[n-1]的最小操作次数。

代码:

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3、背包问题

给出n个物品的体积A[i]和其价值V[i],将他们装入一个大小为m的背包,最多能装入的总价值有多大?

例如:对于物品体积[2, 3, 5, 7]和对应的价值[1, 5, 2, 4], 假设背包大小为10的话,最大能够装入的价值为9。

思路:当空间为v时,对于任意一个物品i,如果i可以放入(v大于等于weight[i]),则此时v空间的价值f(v)等于f(v-weight[i]) + values[i],因此通过遍历全部物品可以找到在空间为v时所能得到的最大值。

代码:

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4、区间问题(谷歌面试题)

有n个硬币排成一条线,每一枚硬币有不同的价值。两个参赛者轮流一从任意一边取一枚硬币,直到没有硬币为止。计算拿到的硬币总价值,价值最高的获胜。请判定第一个玩家是输还是赢?

例如:给定数组[3,2,2],返回true;给定数组[1,20,15],返回false。

思路:对于给定的一个闭区间(i到j,j大于等于i),玩家A拿硬币只有两种拿法,从左拿或者从右拿。如果从左拿,则A能拿到的最大面值=拿到的这枚硬币的面值 + 剩余区间的总面值 - B玩家在剩余区间能拿到的最大面值;A从右拿的情况与从左拿类似。由此我们可以得到状态转移方程。而通过两次循环我们能够得到长度为n的序列里任意i到j区间的面值总和,以及j=i的情况下先手玩家拿到的最大值(即第i个硬币的面值)。

代码:

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